Пусть
![](https://st.testna5.ru/images/d74/d7449ccfa6921f55e362d6a348d1e12b.png)
– произвольное множество (универсальное),
![](https://st.testna5.ru/images/e64/e64f19213e472396eb0f123f02a22a9e.png)
– произвольное подмножество,
![](https://st.testna5.ru/images/d0d/d0d9b049a22b6b745cf86830ebc3f7e0.png)
– дополнения множества
![](https://st.testna5.ru/images/07f/07f28500d863c8f81904756277ae1c04.png)
до множества
![](https://st.testna5.ru/images/bba/bbad999715065c96c35c7b2ad080ab50.png)
(разность множеств
![](https://st.testna5.ru/images/f69/f691ec645ca11e6fc78ac223875eb451.png)
и
![](https://st.testna5.ru/images/7be/7beb93bd0857a4f11e9e4f5fa312f657.png)
).
Если
![](https://st.testna5.ru/images/60d/60d74af9786c98742c62ca6ef7303e41.png)
,
![](https://st.testna5.ru/images/21c/21ca071719d2bc4bc57c9d46e482b7ed.png)
и
![](https://st.testna5.ru/images/308/30834fea3cbaebe2558c2e95899b213e.png)
, то доказательство включения
![](https://st.testna5.ru/images/d4e/d4e1645f228293143d423e91642ea1ba.png)
образует последовательность приведённых эквивалентностей …
Из определения операции дополнения множества следует, что утверждения
![](https://st.testna5.ru/images/50f/50f4e90b8ea1ce659b7773b3aad81021.png)
и
![](https://st.testna5.ru/images/281/281bf9f9284ec40c7363a2707c03d48e.png)
эквивалентны (равносильны)
(кратко:
![](https://st.testna5.ru/images/975/97585b3da632d9fb1dc8ded08c28c0b1.png)
).
Утверждение
![](https://st.testna5.ru/images/bef/bef408d3ab6803119bf254c0c51ccd3a.png)
эквивалентно (равносильно) утверждению
![](https://st.testna5.ru/images/229/22921ca8d7eda441967a7d939b3cd7f5.png)
и
![](https://st.testna5.ru/images/e19/e192b49377adf1a36231ee76d8836fb6.png)
, что непосредственно следует из определения операции объединения множеств
(кратко:
![](https://st.testna5.ru/images/51a/51a036b6d50b4a3912c619cec9c64411.png)
).
Учитывая определение дополнения, можно утверждать, что соотношение
![](https://st.testna5.ru/images/52a/52a650c50c6b922ce04c75d4677c7b22.png)
и
![](https://st.testna5.ru/images/a64/a64bba2b68d07275010b54863e1e45dc.png)
равносильно (эквивалентно) соотношению
![](https://st.testna5.ru/images/f1c/f1c01f8a431e3aa0cd73dc84738894e6.png)
и
![](https://st.testna5.ru/images/286/2863a5bd7b0e33a458f5b84ea395ce1b.png)
(кратко:
![](https://st.testna5.ru/images/596/59602bf104293113321502096f0a5d9b.png)
).
По определению операции пересечения, соотношение
![](https://st.testna5.ru/images/0cc/0cc4a913c1320733d5759defe7e6fa82.png)
и
![](https://st.testna5.ru/images/4d4/4d4cae1bc6a8cf25702d2f74bd8c7b08.png)
эквивалентно (равносильно) соотношению
![](https://st.testna5.ru/images/f2a/f2acb9f1835c47d76ee8f60cfe8d15f9.png)
(кратко:
![](https://st.testna5.ru/images/802/802fc149427d1de1b3f24ee5e7677d2c.png)
).